這些由非常簡(jiǎn)的方程定義的線籠罩在神秘優(yōu)雅之中。事上，描述它們方程非常簡(jiǎn)單即使是高中生能理解。然而盡管世界上一最偉大的數(shù)學(xué)做出了不懈的力，仍有大量于它們的簡(jiǎn)單題尚未解決。這還不是全部正如你很快就看到的，這個(gè)論連接了數(shù)學(xué)各個(gè)重要領(lǐng)域因?yàn)闄E圓曲線僅僅是平面曲。一個(gè)古老的題在數(shù)學(xué)中，些幾何問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問，反之亦然。如，看一下幾年前的一個(gè)經(jīng)問題，正整數(shù) n 是否等于某個(gè)邊長(zhǎng)是有理的直角三角形面積。在這種況下，n 被稱為同余數(shù)。例，6 是一個(gè)同余數(shù)，因?yàn)樗?邊長(zhǎng)為 3，4 和 5 的直角三角形的面。1640 年，費(fèi)馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從費(fèi)馬的明之后，證明個(gè)數(shù)是（或不）同余數(shù)的研就一直在進(jìn)行令人驚奇的是我們可以用初方法證明對(duì)于一組有理數(shù)數(shù)a，b，c），如果有我們可找到兩個(gè)有理 x 和 y，使得反過來，于每個(gè)有理數(shù) (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可以找到個(gè)有理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是說， y≠0 時(shí)，面積為 n 的直角三角形恰對(duì)應(yīng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦然。數(shù)家會(huì)說這兩個(gè)合之間存在雙。因此，當(dāng)且當(dāng)方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個(gè)有理解 (x, y) 且 y≠0 時(shí)，n＞0 是同余數(shù)。例如由于 1 不是同余數(shù)，y^2= x^2- x 的唯一有理解是 y = 0。具體對(duì)應(yīng)如下，如果我們邊長(zhǎng)為 3，4，5，面積為 6 的三角形上嘗試這種對(duì)應(yīng)系，那么對(duì)應(yīng)解是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議的。個(gè)人從數(shù)論和何的問題開始通過代數(shù)，把轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)平面曲線上有點(diǎn)的問題！橢曲線一般來說如果 f (x) 表示具有非零判別式的三多項(xiàng)式（即所的根都是不同），那么 y^2= f (x) 描述的是一條橢圓曲線，了“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（即橢圓曲線點(diǎn)在加法運(yùn)算構(gòu)成的群中的位元）。現(xiàn)在通過一個(gè)小小代數(shù)技巧，我可以對(duì)坐標(biāo)進(jìn)適當(dāng)?shù)模ㄓ欣?改變，并得到條形式為的新線，使得兩條線上的有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)。從在開始，當(dāng)我說“橢圓曲線時(shí)，指的是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線以及無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)??。此外我們假定系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓線有兩種典型形狀，如下圖示。維基百科而，如果我們 x 和 y 看作復(fù)變量，線看起來就完不同了。它們起來像是甜甜。那么我們?yōu)?么要研究橢圓線，我們可以它們做什么呢首先，許多數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化丟番圖方程的題，其次，橢曲線與被稱為子（lattices）的離散幾何對(duì)象有關(guān)并與一些非常要的被稱為模式的對(duì)象密切關(guān)，這些對(duì)象一些極其對(duì)稱復(fù)函數(shù)，其中含大量的數(shù)論息。實(shí)際上，圓曲線和模形之間的聯(lián)系是明費(fèi)馬大定理關(guān)鍵，安德魯懷爾斯在 20 世紀(jì) 90 年代通過幾年努力實(shí)現(xiàn)了建了這種聯(lián)系，而證明了費(fèi)馬定理。在密碼中，橢圓曲線被用于加密信和在線交易。而，它們最重的特征是一個(gè)人興奮的事實(shí)即它們不僅僅曲線和幾何。實(shí)上，它們有個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)叫阿貝爾群結(jié)構(gòu)這是一種幾何算（規(guī)則），來把曲線上的相加。對(duì)于阿爾群，你可以它想象成一組象，對(duì)它們進(jìn)運(yùn)算，使得它具有與整數(shù)在法方面相同的構(gòu)（除了它們以是有限的）阿貝爾群的例有：關(guān)于加法算的整數(shù)?。正方形順時(shí)針轉(zhuǎn) 90 度的操作。以向量元素，向量加為運(yùn)算的向量間。橢圓曲線神奇之處在于我們可以在橢曲線上的有理點(diǎn)（也就是說x 和 y 坐標(biāo)都是有理數(shù)之間定義一個(gè)算（稱它為“”），這樣曲上這些點(diǎn)的集就變成了一個(gè)于運(yùn)算“⊕”單位元素??（窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)）阿貝爾群。讓們定義這個(gè)運(yùn)。如果你在曲上取兩個(gè)有理（例如 P 和 Q），并考慮一條經(jīng)過它們直線，那么這直線與曲線相于另一個(gè)有理（可能是無窮處的點(diǎn)）。我稱這個(gè)點(diǎn)為-R?，F(xiàn)在，因?yàn)?線是關(guān)于 x 軸對(duì)稱的，我得到另一個(gè)有點(diǎn) R。這個(gè)反射點(diǎn)（上圖中 R）是前面提到的兩個(gè)點(diǎn)（P 和 Q）的相加。我們可以成可以證明，個(gè)運(yùn)算是滿足合律，這真的令人驚訝。此，無窮遠(yuǎn)處的作為這個(gè)運(yùn)算（唯一）恒等，每個(gè)點(diǎn)都有個(gè)逆點(diǎn)。巨大謎團(tuán)事實(shí)證明兩條不同的橢曲線可以有截不同的群。一重要的不變量在某種意義上最具定義性的征，就是所謂曲線（或群）秩。一條曲線可以有有限個(gè)理點(diǎn)，也可以無限個(gè)有理點(diǎn)我們感興趣的，需要多少點(diǎn)能根據(jù)前面提的加法規(guī)則生所有其他的點(diǎn)這些生成器被為基點(diǎn)。秩是種維數(shù)度量，像向量空間的數(shù)一樣，表示多少獨(dú)立的基（在曲線上）有無限階。如曲線上只包含限數(shù)量的有理，那么秩為零仍然有一個(gè)群但它是有限的計(jì)算橢圓曲線秩是出了名的難，但莫德爾訴我們橢圓曲的秩總是有限。也就是說，們只需要有限量的基點(diǎn)就可生成曲線上的有有理點(diǎn)。數(shù)中最重要和最趣的問題之一稱為波奇和斯納頓-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)橢圓曲線的秩事實(shí)上，它是此的困難和重，以至于它成千禧年難題之。在具有有理系數(shù)的橢圓曲上尋找有理點(diǎn)困難的。一種法是通過對(duì)曲 p 進(jìn)行模數(shù)化簡(jiǎn)，其中 p 是質(zhì)數(shù)。這意味著，我們不慮方程 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，是考慮同余的理解集，為了它有意義，我可能必須通過兩邊乘以整數(shù)消去分母。所我們考慮的是個(gè)數(shù)，當(dāng)除以 p 時(shí)余數(shù)相同，在這個(gè)新空中相等。這樣的好處是，現(xiàn)只有有限數(shù)量東西需要檢查讓我們用 N_p 表示對(duì) p 取模的簡(jiǎn)化曲線的有理解的數(shù)。在 20 世紀(jì) 60 年代早期，戴爾劍橋大學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室使用 EDSAC-2 計(jì)算機(jī)來計(jì)算已知秩的橢圓線上取 p 模的點(diǎn)數(shù)。他和學(xué)家布萊恩?翰?伯奇一起究了橢圓曲線并在計(jì)算機(jī)處了一堆下面形的橢圓曲線之對(duì)于 x 的增長(zhǎng)，他們從與線 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到以輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個(gè)例子）。我應(yīng)該意到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個(gè)圖上回歸線的斜率乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當(dāng)他們嘗試不同秩的曲線，每次都發(fā)現(xiàn)相同的模式。合的回歸線的率似乎總是等曲線的秩。更確地說，他們出了大膽的猜這里 C 是某個(gè)常數(shù)。這種算機(jī)運(yùn)算加上大的遠(yuǎn)見，使們對(duì)曲線的哈-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時(shí)的行為做出了一般猜想。這個(gè) L 函數(shù)定義如下。讓令曲線的別式記為 Δ。然后我們可以義與 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下的歐拉積們把它看做復(fù)量 s 的函數(shù)。波奇和斯溫頓-戴雅猜想現(xiàn)在是這樣的： E 為?上的任意橢圓曲線曲線 E 的有理點(diǎn)的阿貝爾 E (?) 的秩等于 s = 1 時(shí) L (E, s) 的零點(diǎn)的階。之所以說它很遠(yuǎn)見是因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，他們甚不知道是否所這樣的 L 函數(shù)都存在所謂解析延拓。問是，上面定義 L (E, s) 僅當(dāng) Re (s)＞3/2。它們都可以用解析延拓 s = 1 處求值，這在 2001 年首次被證明，通安德魯?懷爾證明的與模形的密切聯(lián)系。時(shí)這個(gè)猜想是 L 函數(shù)的泰勒展開來表示，但它是用不的方式來表達(dá)樣的事情。有數(shù)的領(lǐng)域可以更一般的領(lǐng)域取代。橢圓曲的是一場(chǎng)數(shù)論抽象代數(shù)和幾之間的美麗舞。關(guān)于它們，了我在這里描的，還有很多說的，我希望能感受到或看一些令人震驚東西。本文來微信公眾號(hào)：胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
