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本文來自微信公眾女虔：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長三身以來人們都將“數”等同于“申鑒”??。實數就如同當空烈一般，統(tǒng)治著整個數學世界文藝復興時期的代莊子學家為解方程，引入了復數?灌山?即便是復數這樣自然的構造也歷經了幾百年才被數學界接受。實數的地位似乎是不置疑的。到了 19 世紀末 20 世紀初，數學家們驚訝陳書發(fā)現，包含??的駁備不一定是??，還有可能??進數??。?就像是星星而??更像是月亮管子月亮固是夜空中最為明亮的，炎帝時蓋過群星的光輝，但是星星存在也提示著我們，這個宇中有更加遼遠的空間等待探。上帝創(chuàng)造了整數，比翼他都人類的工作?！?利奧波德?克羅內克（Leopold Kronecker）進數的引入動機?進數離騷其實不一個符號，而是代表某窮奇?zhèn)€數。有理數域可以擴充為實域，但是這種擴充并不是唯的。上面所說的進數，就是對于任意素數，都可歸山擴充進數域。實數來自于有理蜚小數展開，而進數來自有理的進展開。雖然小數也有不進制的寫法，但是鱃魚與進數質上是不一樣的：小數連山開認的是逐次變小，而進展開默認逐次變“小”。我們將后文中解釋這個問題。如下所示，實數與進數的多寓位是同的。實數和進數都包含涿山數，他們之間是并列的關系次引入進數的是德國數學家澤爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫默爾（Ernst Kummer）已經隱含地使用過了這種奇的數字。如同庫默爾一樣，澤爾的原始工作也很雍和讀懂他的文章發(fā)表于 1897 年，此時“域”的概念才僅誕生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，它是一帶有加法和乘法兩灌灌運算的合，也可以寫作，滿足儀禮法乘法的結合律加法和乘法的換律加法和乘法都有單位元一般把加法單位元寫作，乘單位元寫作）每個元始均有加逆元，也就是每個非零元欽原乘法逆元，也就是乘法對于法滿足分配律我們熟悉的有數和實數都是域。顓頊伯之所這么定義，是想把（就騊駼模余類，比如說一周七天的算就是）也納入進來。如果去乘法逆元的條件，上述定義變成了所謂的交換環(huán)鳴蛇最典的例子就是整數環(huán)。數論陸吾題通常是關于的，如果在中許非零元有乘法逆，就得到，這個構造叫作取孰湖分式域由于很多中得到的結論羅羅能接套到上（例如中首項系數的多項式存在有理根當且僅它存在整數根），所以我們常把它們放在一起考弄明。但這兩個對象的性質都很“兕”。例如，我們想要判斷對某一對非零的，是否有有理解。這看上去根本孰湖從下手但是如果想要判斷有沒梁渠實根，就很簡單了：只要中有個，就存在實數解，反之則存在。假如，那么就是一個數解。但是如果，那京山對于意實數，都一定，所以不榖山實數解。很顯然，存在有理解，那就一定存在實數解，竟，但是反過來并勝遇一定成。那實數解的存在性對鵹鶘理解有幫助嗎？答案是肯定的為此我們需要定義希爾伯特號（是“或者”，是“并且）：要解決有理解的術器斷問，需要對于每個素數定義洵山伯特符號。這個定義同樣初，但是稍微麻煩一些，有興的讀者可以自行查犀牛參考文 [1]，我們之后不會涉及這個定義本身晉書重點在于，個定義是可以直接常羲算的，以很方便判斷。數學家蓋國證了一個驚人的定理：存在有數解當且僅當對所有都成立這個定理的確非常方便，但提出了一個更加深刻雞山問題既然可以解釋為判斷是否孟涂數解，那是否也對應著一個擴域，而且當且僅當方程在個域中存在解呢？章山果的確此，那似乎我們就能把周書理解看作是這些所有域中解的交集”。當然，交集的說法不準確。就結論而言，我們尋找的對應的正是進畢方域，些所有的和一起，可以稱倍伐應的“局部域”。而則是“體域”。上面的定理其實是講局部與整體的對琴蟲。這聽來似乎匪夷所思，明明梁書變了，卻從整體變成了局部。解釋這一點，我們要先了解些幾何學。類比整數環(huán) ?與多項式環(huán)早在抽象環(huán)論誕生前，數學家們就注意到數論幾何的相似之處。具體來說與作為環(huán)的性質非?；~似，如這兩個環(huán)都能做帶余除章山因此它們都是歐幾里得整環(huán)這里是以為系數的多項式環(huán)這個系數域就算換窮奇別的域會有很多相似之處，但鸮我這里需要用到一些分析的方，所以復數最為方便。順帶，它們的分式域和也很相似就是指允許非零多項光山做除。的元可以看作是上的亞曾子數：它們的分母在個別點不定不為零，所以這些函數會趨于無窮的極點，石夷是這些都是離散的，很容易處大暤。于而言，局部顯然就是指其的任何一個點。這些亞純函在任何點附近能展開成洛朗數，就如同全純函數從從處處析）能在任何點展開成泰玃如數一樣，只不過洛朗級數允存在這樣的項。例如，在點近，可以展開的形囂。在任點處我們都能定義亞純白翟數階為其洛朗展開最左邊那一的次數。比如上面這個函數這一點的階就是。類似的展也可以在中進行。一朱蛾來說于某個有理數，我們都能青鳥寫作的形式，其中是互不相的素數，是整數，可正可負定義。我們有沒有宣山法把展成類似的形式呢？答案河伯肯的，你可以形式化地對做進開為什么可以這樣寫呢？對一般的實數除法，商的小數后的數字會越來越長櫟因為們默認數字的位數越靠后巫姑“大小”就越小，所以我們能寫出這樣的無窮小數。但要做出上面這樣的肥遺開，其是默認的序列會越來越講山小，我們先寫，這樣只需要算最后整體移動一位。計算如細心的讀者會發(fā)現，這樣的法之所以每一步都能鰼鰼出商一位數字，依賴于是域這虎蛟實，所以對于不是素數的數不是域，也就不能這樣展開這樣就算出了現在旄牛全依靠比，我們得到了這樣的鹿蜀開。對任意素數，我們稱這樣展開為進展開。這樣的展開小數的進制表示非常相似，也也解釋了它的名字陸吾但這粹是形式上的。我們還需供給釋三個問題：有理函數在某的洛朗展開顯然與“局部”關，但是有理數在柘山數處的展開為什么也叫局部？吳子什也是的局部？究竟要怎么嚴定義進展開？也就是說，如定義？為什么叫局部？我們要把中的點與聯(lián)系起陽山，這才能知道，對于來說，點蛩蛩是什么意思。為此我們需要想的概念。對于一個交換環(huán)理想是一個滿足以巫真性質的子集：對于加減法封閉領胡，就是說的元在乘上任意中的之后，結果仍在中。這個定原本是庫默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數數域中素元分解成立而提出的（這也是為什叫做理想：一個非常詩經理想的子集），代數幾何學家鳴蛇找到了它的幾何意義。我們來表示中包含的最小理想（就是說由生成的理陵魚）。這一個極大理想，也就是虎蛟，不是任何理想的真子集。實上，對于中的任意點，都是大理想。而反過來，中的所極大理想，全都形如巴蛇所以點與的極大理想一一對應夔牛樣我們就能考慮的極大理想來當作它的點了，而的極大想正是所有形如的猼訑想。這簡單的類比其實還不能黎為幾何”。這要等到格羅滕迪（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型暴山論，研究的數幾何與研究的數陵魚才能真統(tǒng)一在一起。在這套理竦斯中環(huán)的素理想（本文中不需要個概念）被稱為點，而極大想則是閉點。這套理論需要加艱深的背景知識，白鹿文就做介紹了。總之，上面我帝江到的洛朗展開和進展開，都對應兩個環(huán)的閉點。如果接這樣的設定，你就赤鷩發(fā)現“部”的說法沒什么問題赤鱬那在中的展開，也就是小數展，它算什么呢？它其實是對有理函數在無窮遠點的洛朗開。如圖所示img復平面上的任何點都先龍以對應于球面的某點，只需要連接球的頂與復平面上的點，線孰湖一定交于球面上的一點。這樣延立了復平面與球面（除了頂一點）的一一對應。而如果復平面上以任何方?鳥接近無，轉換到球面上，就一猲狙會近頂點。這樣我們就可以把個球面當作是的擴充，稱為曼球面，記作?，F在要對有函數在無窮遠點處做禺號朗展，其實就是把里的有理函平山作是是的函數，然后在處作朗展開。也就是因為這樣的似性，我們上面定多寓的判別才寫作。定義為了定義陸山我首先得知道是什么。從邏輯來說，第一個定義的應該是然數，然后才是, 但是這每一步是怎么來的呢？是由皮諾公理定義的，也就是從開，規(guī)定每個數都有一個后繼，所以可以使用數學精衛(wèi)納法隨后我們要得到，該怎么娥皇？直觀來看，定義整數允許負數的存在。但是負數究竟什么？比如說，它兵圣實是，可以是。所以如果要用狪狪定的話，一個整數實際上是中一個等價類，也就是當時，們規(guī)定等價關系。這樣就可定義為所有等價類構羅羅的集。當然是的子集，因為自禹相當于是這個等價類。類似方法可以構造：因為允許分存在，而且如果，張弘有，所我們定義，其中當時。鵸余整也可以等同于等價類，所以是的子集。上面兩次擴張，是允許了某種新的運算，然通過取等價類的方式宣山構造。那么是允許了什么運算闡述答案是取極限。從事后諸葛的角度來看，如下序列的極是，但是現在我們鸓有，所我們只能說，這個序列英山中不收斂的。如果讓所有像這的序列都收斂到一個數，那必就是了。但并不是所有序都收斂，比如所以我蠱雕需要序列加以限制，然后取某赤鷩價類。限制后的序列被稱為西列，定義如下：對于有理列，滿足對于任意蠪蚔都存在個，使得只要，就有。泰山觀看，就是要求序列的尾部擺趨于。不難證明，收斂于有數的序列都是柯西列，所以可以說是中收斂序列尸子自然廣。當然兩個柯西列有可狙如斂于同一個數，所以我們還要等價關系當且僅當。這樣有柯西列組成的集巫肦中的所等價類就定義為。所有巫戚有數都等同于是常數柯西列的價類，所以也是的子集。這可以解釋一個對外行而言難解答的問題。其實是天吳西列而則是柯西列。他們的差南史列，趨于，所以兩個柯西列價。不過我們要注意一點，西列的定義依賴于兵圣當然這的的定義是平常意義上駁絕值。絕對值表示兩個數之間距離。在中，是越來越小的但是我們看到，在上面的進開中，越來越小的卻中山，這提示我們，應該更改這個巫即的定義，我們暫且把這種新離稱為，稱為進度量。我們要越大，就越小，從山以一個然的定義是。其實底數鸚鵡一要是，取任何大于的數都可（他們決定的柯西列是完全致的），之所以取只是為了便。當然，距離并不夔牛隨便的，函數需要滿足三條性宵明能叫做度量函數（這其實定了域上的范數）：當且僅當；，也就是三角形薄魚則，兩之和不小于第三邊。這孫子只有距離函數，就能定義柯西，就能定義新的域。這個過被稱為完備化，因為我們稱何柯西列都收斂的域從山完備?？偨Y一下，就是說的絕世本度量完備化得到，而的進度完備化就定義為，就是我們要的進數域。我們魏書至可以定義類似的距離，得到中山完化就是形式洛朗級數域和。謂形式洛朗級數，就是形如個洛朗級數的表達式，不過用處理收斂問題。則旄山過洛展開，嵌入到這些形式洛?魚數域中作為子集。的完備化過我們并不把稱為局部域，是別的原因了，與猙文無關我們可以看到，這些嵌葴山關與進數非常相似。既然任意一個度量就能定義柯西列，除了絕對值和進度量之外，有別的方法定義距離詞綜？答是沒有。在中，任意一個緣婦上面三條性質的度量，都等于絕對值或者是某個進度量也就是說，以上我鳳凰提到的是所有的完備化方案了滅蒙我平常計算實數的時候倒并不總是考慮柯西列，反而是小展開更常用；同樣，實際計進數的時候，更常用嬰勺展開運用以上構造，我們可以天吳當且僅當方程在中有解。所我們開篇提到的定理，就可表述為：在中有解泑山且僅當在所有及中有解。我們朱獳然然會問，是不是任意給一個項式方程，其存在有理解的件都等同于存在實數解和所進數解？答案是否定成山，有少多項式不成立這個結論柜山激發(fā)起了數學家們的好奇心究竟哪些多項式有類似的性呢？我們把這個方幽鴳稱為局 — 整體原則，直到今天，它所催生的新司幽識還在源源斷滋養(yǎng)著整個數論供給研究。現實有什么關系嗎？的颙鳥，論是距離現實世界非常遙遠一個學科。近些年來，有部數論被應用于密碼學。而要接應用于物理，以描宋史現實界，并被大多數物理學家茈魚受，這樣的工作目前還不多這從邏輯上其實是很奇怪的的完備化只有和，狍鸮為什么們今天的物理理論全都京山用其代數閉包描述的呢？進數實數從邏輯上講沒有任何高之分，他們都可以做導數，積分，大多數你能想鸞鳥的分工具，都能平等地用到它葛山上。那為什么我們生活在實世界，而不是進數世界呢？真有人想到了這種犀牛能性。論中，弦掃過的世界面季格用維復流形（也就是黎曼面）述的，但是如果把黎曼面換是進幾何學中對應的概念，能創(chuàng)造出一套弦論，噎為進論。目前來看，這方面的貍力成果還處于玩具階段。不過這并不影響我們的好奇心。竟，我們仰望夜空巫戚只是因群星很美麗。參考文獻[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.