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本文來自微信公號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：張和持長久以來，們都將“數(shù)”等于“實(shí)數(shù)”??實(shí)數(shù)就如同當(dāng)空日一般，統(tǒng)治著個(gè)數(shù)學(xué)世界。文復(fù)興時(shí)期的代數(shù)家為了解方程，入了復(fù)數(shù)?。?即便是復(fù)數(shù)這樣然的構(gòu)造，也歷了幾百年才被數(shù)界所接受。實(shí)數(shù)地位似乎是不可疑的。到了 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家驚訝地發(fā)現(xiàn)，包??的完備域不定是??，還有能是??進(jìn)數(shù)?。?就像是星星而??更像是月：月亮固然是夜中最為明亮的，時(shí)常蓋過群星的輝，但是星星的在也提示著我們這個(gè)宇宙中有更遼遠(yuǎn)的空間等待索。上帝創(chuàng)造了數(shù)，其他都是人的工作?！?利奧波德?克羅內(nèi)（Leopold Kronecker）進(jìn)數(shù)的引入動(dòng)機(jī)?進(jìn)數(shù)的其不是一個(gè)符號(hào)，是代表某一個(gè)素。有理數(shù)域可以充為實(shí)數(shù)域，但這種擴(kuò)充并不是一的。上面所說進(jìn)數(shù)，就是指對(duì)任意素?cái)?shù)，都可擴(kuò)充為進(jìn)數(shù)域。數(shù)來自于有理數(shù)小數(shù)展開，而進(jìn)來自有理數(shù)的進(jìn)開。雖然小數(shù)也不同進(jìn)制的寫法但是這與進(jìn)數(shù)本上是不一樣的：數(shù)展開默認(rèn)的是次變小，而進(jìn)展則默認(rèn)逐次變“”。我們將在后中解釋這個(gè)問題如下圖所示，實(shí)與進(jìn)數(shù)的地位是同的。實(shí)數(shù)和進(jìn)都包含有理數(shù)，們之間是并列的系首次引入進(jìn)數(shù)是德國數(shù)學(xué)家亨爾（Kurt Hensel），而在他之前的庫默（Ernst Kummer）已經(jīng)隱含地使用過了種奇妙的數(shù)字。同庫默爾一樣，澤爾的原始工作很難讀懂。他的章發(fā)表于 1897 年，此時(shí)“域”的概念才僅僅生了 4 年：1893 年，韋伯（Heinrich Martin Weber）第一次定義了域，是一個(gè)帶有加法乘法兩種運(yùn)算的合，也可以寫作滿足加法和乘法結(jié)合律加法和乘的交換律加法和法都有單位元（般把加法單位元作，乘法單位元作）每個(gè)元都有法逆元，也就是個(gè)非零元都有乘逆元，也就是乘對(duì)于加法滿足分律我們熟悉的有數(shù)和實(shí)數(shù)都是域韋伯之所以這么義，是想把（就模剩余類，比如一周七天的算數(shù)是）也納入進(jìn)來如果去掉乘法逆的條件，上述定就變成了所謂的換環(huán)，最典型的子就是整數(shù)環(huán)。論的問題通常是于的，如果在中許非零元有乘法，就得到了，這構(gòu)造叫作取的分域。由于很多中到的結(jié)論都能直套到上（例如中項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)存在有理根當(dāng)且當(dāng)它存在整數(shù)根，所以我們通常它們放在一起考。但是這兩個(gè)對(duì)的性質(zhì)都很“糟”。例如，我們要判斷對(duì)于某一非零的，是否有理數(shù)解。這看上根本無從下手。是如果想要判斷沒有實(shí)數(shù)根，就簡單了：只要中一個(gè)，就存在實(shí)解，反之則不存。假如，那么就一個(gè)實(shí)數(shù)解。但如果，那么對(duì)于意實(shí)數(shù)，都一定所以不存在實(shí)數(shù)。很顯然，存在理數(shù)解，那就一存在實(shí)數(shù)解，畢，但是反過來并一定成立。那實(shí)解的存在性對(duì)有數(shù)解有幫助嗎？案是肯定的，為我們需要定義希伯特符號(hào)（是“者”，是“并且）：要解決有理的判斷問題，需對(duì)于每個(gè)素?cái)?shù)定希爾伯特符號(hào)。個(gè)定義同樣初等但是稍微麻煩一，有興趣的讀者以自行查閱參考獻(xiàn) [1]，我們之后不會(huì)涉及這定義本身。重點(diǎn)于，這個(gè)定義是以直接計(jì)算的，以很方便判斷。學(xué)家們證明了一驚人的定理：存有理數(shù)解當(dāng)且僅對(duì)所有都成立。個(gè)定理的確非常便，但它提出了個(gè)更加深刻的問：既然可以解釋判斷是否有實(shí)數(shù)，那是否也對(duì)應(yīng)一個(gè)的擴(kuò)域，而當(dāng)且僅當(dāng)方程在個(gè)域中存在解呢如果的確如此，似乎我們就能把理數(shù)解看作是這所有域中解的“集”。當(dāng)然，交的說法并不準(zhǔn)確就結(jié)論而言，我要尋找的對(duì)應(yīng)的是進(jìn)數(shù)域，這些有的和一起，可稱為對(duì)應(yīng)的“局域”。而則是“體域”。上面的理其實(shí)是在講局與整體的對(duì)應(yīng)。聽起來似乎匪夷思，明明域變大，卻從整體變成局部。要解釋這點(diǎn)，我們要先了一些幾何學(xué)。類整數(shù)環(huán) ?與多項(xiàng)式環(huán)早在抽象環(huán)誕生之前，數(shù)學(xué)們就注意到數(shù)論幾何的相似之處具體來說，與作環(huán)的性質(zhì)非常相，比如這兩個(gè)環(huán)能做帶余除法，此它們都是歐幾得整環(huán)。這里是為系數(shù)的多項(xiàng)式，這個(gè)系數(shù)域就換成別的域也會(huì)很多相似之處，是我們這里需要到一些分析的方，所以復(fù)數(shù)最為便。順帶著，它的分式域和也很似。就是指允許零多項(xiàng)式做除法的元可以看作是的亞純函數(shù)：它的分母在個(gè)別點(diǎn)一定不為零，所這些函數(shù)會(huì)有趨無窮的極點(diǎn)，但這些點(diǎn)都是離散，很容易處理。于而言，局部顯就是指其中的任一個(gè)點(diǎn)。這些亞函數(shù)在任何點(diǎn)附能展開成洛朗級(jí)，就如同全純函（處處解析）能任何點(diǎn)展開成泰級(jí)數(shù)一樣，只不洛朗級(jí)數(shù)允許存這樣的項(xiàng)。例如在點(diǎn)附近，可以開的形式。在任點(diǎn)處我們都能定亞純函數(shù)的階為洛朗展開最左邊一項(xiàng)的次數(shù)。比上面這個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的階就是。似的展開也可以中進(jìn)行。一般來對(duì)于某個(gè)有理數(shù)我們都能將它寫的形式，其中是不相同的素?cái)?shù)，整數(shù)，可正可負(fù)定義。我們有沒辦法把展開成類的形式呢？答案肯定的，你可以式化地對(duì)做進(jìn)展為什么可以這樣呢？對(duì)于一般的數(shù)除法，商的小點(diǎn)后的數(shù)字會(huì)越越長，因?yàn)槲覀?認(rèn)數(shù)字的位數(shù)越后，其“大小”越小，所以我們能寫出這樣的無小數(shù)。但是要做上面這樣的展開其實(shí)是默認(rèn)的序會(huì)越來越“小”我們先寫，這樣需要算，最后整移動(dòng)一位。計(jì)算下細(xì)心的讀者會(huì)現(xiàn)，這樣的除法所以每一步都能出商的一位數(shù)字依賴于是域這個(gè)實(shí)，所以對(duì)于不素?cái)?shù)的數(shù)，不是，也就不能這樣開。這樣就算出現(xiàn)在完全依靠類，我們得到了這的展開式。對(duì)任素?cái)?shù)，我們稱這的展開為進(jìn)展開這樣的展開與小的進(jìn)制表示非常似，這也也解釋它的名字。但這粹是形式上的。們還需要解釋三問題：有理函數(shù)某點(diǎn)的洛朗展開然與“局部”有，但是有理數(shù)在數(shù)處的進(jìn)展開為么也叫局部？為么也是的局部？竟要怎么嚴(yán)格定進(jìn)展開？也就是，如何定義？為么叫局部？我們要把中的點(diǎn)與聯(lián)起來，這樣才能道，對(duì)于來說，究竟是什么意思為此我們需要理的概念。對(duì)于一交換環(huán)，理想是個(gè)滿足以下性質(zhì)真子集：對(duì)于加法封閉；，也就說的元在乘上任中的元之后，結(jié)仍在中。這個(gè)定原本是庫默爾（Ernst Eduard Kummer）與戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）為了解決代數(shù)數(shù)中素元分解不成而提出的（這也為什么叫做理想一個(gè)非常“理想的子集），代數(shù)何學(xué)家們卻找到它的幾何意義。們用來表示中包的最小理想（也是說由生成的理）。這是一個(gè)極理想，也就是說它不是任何理想真子集。實(shí)際上對(duì)于中的任意點(diǎn)都是極大理想。反過來，中的所極大理想，全都如。所以的點(diǎn)與極大理想一一對(duì)。這樣我們就能慮的極大理想，當(dāng)作它的點(diǎn)了，的極大理想正是有形如的理想。樣簡單的類比其還不能稱為“幾”。這要等到格滕迪克（Alexander Grothendieck）創(chuàng)造性地提出概型理論，研的代數(shù)幾何與研的數(shù)論才能真正一在一起。在這理論中，環(huán)的素想（本文中不需這個(gè)概念）被稱點(diǎn)，而極大理想是閉點(diǎn)。這套理需要更加艱深的景知識(shí)，本文就做介紹了?？傊?上面我們用到的朗展開和進(jìn)展開都是對(duì)應(yīng)兩個(gè)環(huán)閉點(diǎn)。如果接受樣的設(shè)定，你就發(fā)現(xiàn)“局部”的法沒什么問題。么在中的展開，就是小數(shù)展開，算什么呢？它其是對(duì)應(yīng)有理函數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的洛朗開。如圖所示img復(fù)平面上的任何點(diǎn)都可以對(duì)應(yīng)于面上的某點(diǎn)，只要連接球的頂端復(fù)平面上的點(diǎn)，段一定會(huì)交于球上的一點(diǎn)。這樣建立了復(fù)平面與面（除了頂端一）的一一對(duì)應(yīng)。如果在復(fù)平面上任何方向接近無，轉(zhuǎn)換到球面上就一定會(huì)逼近頂。這樣我們就可把這個(gè)球面當(dāng)作的擴(kuò)充，稱為黎球面，記作。現(xiàn)要對(duì)有理函數(shù)在窮遠(yuǎn)點(diǎn)處做洛朗開，其實(shí)就是把的有理函數(shù)看作是的函數(shù)，然后處作洛朗展開。就是因?yàn)檫@樣的似性，我們上面義的判別式才寫。定義為了定義我們首先得知道什么。從邏輯上說，第一個(gè)定義應(yīng)該是自然數(shù)，后才是, 但是這每一步是怎么來呢？是由皮亞諾理定義的，也就從開始，規(guī)定每數(shù)都有一個(gè)后繼，所以可以使用學(xué)歸納法。隨后們要得到，該怎辦呢？直觀來看定義整數(shù)允許了數(shù)的存在。但是數(shù)究竟是什么？如說，它其實(shí)是也可以是。所以果要用來定義的，一個(gè)整數(shù)實(shí)際是中的一個(gè)等價(jià)，也就是當(dāng)時(shí)，們規(guī)定等價(jià)關(guān)系這樣就可以定義所有等價(jià)類構(gòu)成集合。當(dāng)然是的集，因?yàn)樽匀粩?shù)當(dāng)于是這個(gè)等價(jià)。類似的方法可構(gòu)造：因?yàn)樵试S數(shù)存在，而且如，就有，所以我定義，其中當(dāng)時(shí)而整數(shù)也可以等于等價(jià)類，所以是的子集。上面次擴(kuò)張，都是允了某種新的運(yùn)算然后通過取等價(jià)的方式來構(gòu)造的那么是允許了什運(yùn)算呢？答案是極限。從事后諸亮的角度來看，下序列的極限是但是現(xiàn)在我們只，所以我們只能，這個(gè)序列在中不收斂的。如果所有像這樣的序都收斂到一個(gè)數(shù)那想必就是了。并不是所有序列收斂，比如所以們需要對(duì)序列加限制，然后取某等價(jià)類。限制后序列被稱為柯西，定義如下：對(duì)有理序列，滿足于任意，都存在個(gè)，使得只要，有。直觀來看，是要求序列的尾擺動(dòng)趨于。不難明，收斂于有理的序列都是柯西，所以這可以說中收斂序列的自推廣。當(dāng)然兩個(gè)西列有可能收斂同一個(gè)數(shù)，所以們還需要等價(jià)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)。這樣有柯西列組成的合中的所有等價(jià)就定義為。所有有理數(shù)都等同于常數(shù)柯西列的等類，所以也是的集。這也可以解一個(gè)對(duì)外行而言以解答的問題。實(shí)是柯西列，而是柯西列。他們差是序列，趨于所以兩個(gè)柯西列價(jià)。不過我們要意一點(diǎn)，柯西列定義依賴于。當(dāng)這里的的定義是常意義上的絕對(duì)。絕對(duì)值表示兩數(shù)之間的距離。中，是越來越小。但是我們看到在上面的進(jìn)展開，越來越小的卻，這就提示我們應(yīng)該更改這個(gè)距的定義，我們暫把這種新距離稱，稱為進(jìn)度量。們需要越大，就小，所以一個(gè)自的定義是。其實(shí)數(shù)不一定要是，任何大于的數(shù)都以（他們決定的西列是完全一致），之所以取只為了方便。當(dāng)然距離并不是隨便的，函數(shù)需要滿三條性質(zhì)才能叫度量函數(shù)（這其定義了域上的范）：當(dāng)且僅當(dāng)；，也就是三角形則，兩邊之和不于第三邊。這樣要有距離函數(shù)，能定義柯西列，能定義新的域。個(gè)過程被稱為完化，因?yàn)槲覀兎Q何柯西列都收斂域?yàn)橥陚溆??？?一下，就是說的對(duì)值度量完備化到，而的進(jìn)度量備化就定義為，是我們想要的進(jìn)域。我們甚至可對(duì)定義類似的距，得到的完備化是形式洛朗級(jí)數(shù)和。所謂形式洛級(jí)數(shù)，就是形如個(gè)洛朗級(jí)數(shù)的表式，不過不用處收斂問題。則通洛朗展開，嵌入這些形式洛朗級(jí)域中作為子集。完備化不過我們不把稱為局部域這是別的原因了與本文無關(guān)。我可以看到，這些入關(guān)系與進(jìn)數(shù)非相似。既然任意一個(gè)度量就能定柯西列，那除了對(duì)值和進(jìn)度量之，還有別的方法義距離嗎？答案沒有。在中，任一個(gè)滿足上面三性質(zhì)的度量，都價(jià)于絕對(duì)值或者某個(gè)進(jìn)度量。也是說，以上我們到的就是所有的備化方案了。我平常計(jì)算實(shí)數(shù)的候倒并不會(huì)總是慮柯西列，反而小數(shù)展開更常用同樣，實(shí)際計(jì)算數(shù)的時(shí)候，更常進(jìn)展開。運(yùn)用以構(gòu)造，我們可以明當(dāng)且僅當(dāng)方程中有解。所以我開篇提到的定理就可以表述為：中有解當(dāng)且僅當(dāng)在所有及中有解我們自然而然會(huì)，是不是任意給個(gè)多項(xiàng)式方程，存在有理解的條都等同于存在實(shí)解和所有進(jìn)數(shù)解答案是否定的，不少多項(xiàng)式不成這個(gè)結(jié)論。這激起了數(shù)學(xué)家們的奇心：究竟哪些項(xiàng)式有類似的性呢？我們把這個(gè)向稱為局部 — 整體原則，直到天，它所催生的知識(shí)還在源源不滋養(yǎng)著整個(gè)數(shù)論研究。跟現(xiàn)實(shí)有么關(guān)系嗎？的確數(shù)論是距離現(xiàn)實(shí)界非常遙遠(yuǎn)的一學(xué)科。近些年來有部分?jǐn)?shù)論被應(yīng)于密碼學(xué)。而要接應(yīng)用于物理，描述現(xiàn)實(shí)世界，被大多數(shù)物理學(xué)所接受，這樣的作目前還不多。從邏輯上其實(shí)是奇怪的。的完備只有和，但為什我們今天的物理論全都是用及其數(shù)閉包描述的呢進(jìn)數(shù)與實(shí)數(shù)從邏上講沒有任何高之分，他們都可做導(dǎo)數(shù)，做積分大多數(shù)你能想到分析工具，都能等地用到它們身。那為什么我們活在實(shí)數(shù)世界，不是進(jìn)數(shù)世界呢還真有人想到了種可能性。弦論，弦掃過的世界是用一維復(fù)流形也就是黎曼面）述的，但是如果黎曼面換成是進(jìn)何學(xué)中對(duì)應(yīng)的概，也能創(chuàng)造出一弦論，稱為進(jìn)弦。目前來看，這面的研究成果還于玩具階段。不，這并不影響我的好奇心。畢竟我們仰望夜空，是因?yàn)槿盒呛苊?。參考文獻(xiàn)[1] 加藤和也，黑川信重，齋藤毅.數(shù)論 I——Fermat 的夢想和類域論.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.