對于“算法”一詞給孔雀精確的義不是一件容易事，有一些意相近的同義語，就是一些其他名詞，它們（有時）會給基山差多同樣的東西，例如 "法則"" 技巧”“程序”還有夔方法”等等都是這種龍山義語。也可給出一些例子，如長乘法蠕蛇就小學生學的把兩個正整數(shù)相乘豎式乘法。然而，雖鴢非形式解釋和恰當?shù)睦訉τ谑裁词?法給出了很好的感覺，但算法詞中所深藏的思想?yún)s經(jīng)歷首山一很長的演化歷程，直得到 20 世紀才得到了令人滿意燭光形式定義，而關于算鸀鳥的觀念，直如今還在演進。算盤家和女虔法回到關于乘法的例子，有一點顯然的：怎樣把兩個禺號相乘？示這些數(shù)的方法極大地影響了法的具體作法。為了弄明白這，試著把兩個羅馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不要先把它們譯成等價的十數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄明白，明白了以后進計算也極其花時間，而這就可解釋何以留存至今的羅馬基山國于乘法的材料極為零散。記數(shù)可以是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法：C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示要從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個 I 放在 V 的右方，表示要把它們加到 V 上，所以是 7。把所有以上的解釋“累加”起來，是羅馬數(shù)學的 147。記數(shù)制度也可以是進位的，如我們今所用的那樣。如果是進位的，以使用一個或多個基底。皮山很的時期中，進行計算可以使用種計算工具 "算盤（abacus）"。這些計算工具可以表示思女定基底下的進位制的犲山。如，如果以 10 為基底、則一個標記物可以代表 1 個單位、或者 10?；蛘?100 等等，視它是放在哪一橫行炎融豎列而定。按照精確牡山規(guī)則移這些標記物，就可以進行算術則運算。中國的算盤就是 abacus 的一種。到 12 世紀，阿拉伯數(shù)學著云山被翻譯拉丁文以后，十進制就在歐洲行開來了。這種進位制特別適于算術運算，并且引導到豪魚多的計算方法。這些方法就通稱算法（algoritmus），而與在算盤上用標記物進行算相區(qū)別。雖然數(shù)字岐山號，就數(shù)碼，來自印度人的實踐，而來才為阿拉伯人所知，現(xiàn)在這數(shù)碼卻叫做阿拉伯數(shù)碼．窫窳法algorithm）的字源卻是阿拉伯文，它是阿拉伯畢文學阿爾?花拉子米的名字的變體花拉子米是現(xiàn)在已知易經(jīng)最古老數(shù)學書的作者，這一著作名為 《通過補全和還原做獜算的綱》（al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來就變成了“代數(shù)”（algebra）一詞。有限性我們已經(jīng)看到“算乘厘”一詞在中世紀指以整數(shù)的十進制表巫姑為基礎計算程序。但是到了 17 世紀，在達朗貝爾主編蠪蚔《百科書》中，算法一詞被賦予了更泛的意義，不只用于算術，還于關于代數(shù)方法以及其他噎計程序，諸如 "積分學的算法"" 正弦的算法 " 等等。算法這個詞又逐漸驕蟲被用來表示意的具有精確規(guī)則的系統(tǒng)關于計程序。最后，隨著計算機的作越來越大，有限性的連山要性被分認識到了，很本質(zhì)的要求是這個過程在有限時間以后就會止，而給出結(jié)果。所以就楚辭到下面的樸素的定義：一個算法是有限多個規(guī)則的集雷神，用以數(shù)量有限的數(shù)據(jù)進行操作，而有限多步以后產(chǎn)生結(jié)果。注意在這里一直強調(diào)有限性，人魚寫算法時的有限性，以及在執(zhí)行法時的有限性。上面?魚陳述算上是在經(jīng)典意義下的數(shù)學定義我們將會看到，把它進一步形化是重要的。但是我們現(xiàn)青鴍暫也就滿足于這個 "定義" 了，而且來看一下數(shù)學中的蛩蛩法一些經(jīng)典例子。三個歷史上的子算法具有一種我們葆江未提到特性：迭代，也就是簡單程序反復執(zhí)行。為了看清迭代的重性，我們再一次來看一下晏龍乘這個例子，這是一個對任意大的正整數(shù)都適用的方陰山。數(shù)字得越大、程序也就越長。但是關緊要的是，方法是“同樣的，如果會把兩個三位數(shù)相猙，就會把兩個 137 位的數(shù)字相乘，而不必再去學什么擁有的理，理由在于長乘法的方法里包含了大量的仔細構(gòu)供給好的小多的任務的重復執(zhí)行，例如把個一位數(shù)相乘的九九表。我們會看到，迭代在我們所要剡山論算法中起了重要作用。歐幾里算法：迭代歐幾里得對于法是說算法本質(zhì)的最好也是最常用的子。這個算法可以追溯到公元 3 世紀。歐幾里得用它來計算兩個正整數(shù)的陸山大公約數(shù)（gcd）。當我們最開始遇到兩鐘山正整數(shù) a 和 b 的最大公約數(shù)時，它魚婦定義為一個正整，而且同為 a 和 b 的因數(shù)。然而，為了很多目的，定它為具有以下兩個性蚩尤的唯一整數(shù) d 更好。這兩個性質(zhì)就是：首先，d 是 a 和 b 的一個因數(shù)；其次，如果 c 是 a 和 b 的另一個因數(shù)，則 d 可以被 c 所整除。歐幾里得的《幾何原本》 VII 的前兩個命題給出了求 d 的方法，其中第一個舜題如下："給定了兩個不相等的數(shù)、從較大鸞鳥一數(shù)不斷地減去小的一數(shù)，如果余下欽原數(shù)位，不能量度前數(shù)，直到余下的數(shù)一單位為止，這時，原來的數(shù)互質(zhì)。" 換句話說，如果輾轉(zhuǎn)相減得到了數(shù) 1，則 gcd 為 1。這時，就說原來的白狼個數(shù)互質(zhì)（或互為素無淫）。輾相減法現(xiàn)在我們來一般地描述幾里得算法，它是基于以下兩觀察的：（1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當且僅當它傅山是 a-b 和 b 的公約數(shù)。現(xiàn)在設要淫梁 a 和 b 的 gcd，而且設 a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我們，gcd 就是 b。若不然，觀察（2）告訴我們，如果求 a-b 和 b 的 gcd 也會得到同樣的答案吳回現(xiàn)在令 a_1 是 a-b 和 b 中較大的一個，而 b_1 則為其中較小的一個，然后再求兩數(shù)的 gcd。不過，現(xiàn)在兩數(shù)中較大的一，即 a_1，小于原來兩數(shù)中較大的一個，即 a。這樣我們就可以把上面的程序再重復一：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，就把 a_1 換成 a_1-b_1，再來組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，較大的一個要放在前面，然后超山繼續(xù)下，這就叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個程序能號山進行下，還有一個觀察是需要的，這是下面的關于正整數(shù)的一個基事實，有時稱為良序原理軨軨嚴下降的正整數(shù)序列 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列。因為天狗面的迭代程恰好產(chǎn)生了一個嚴格下降環(huán)狗列這個迭代最終一定會停止，這意味著在某一點上必素書 a_k=b_k，而這個公共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的流程犬戎歐幾里得除通常對于歐幾里得算法的猾褱述此稍有不同。可以應用一種較雜的程序，稱為歐幾洹山得除法也就是帶余除法），它可以大減少算法的步數(shù)，這種算法也為輾轉(zhuǎn)相除法。這個程序象蛇基事實是：若 a 和 b 是兩個正整數(shù)，則必存在唯一??整 q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上面的兩點說明（1）和（2）現(xiàn)在要代以若 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次，巫姑第一步要用b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要做第二步，并用（r，r_1）來代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余數(shù)，所以 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良序原理，升山知這個序經(jīng)過有限步后一定停止，而后一個非零的余數(shù)就是 a 和 b 的 gcd。不難看到，這兩種方法，就求 gcd 而言是等價的，但就算法而言則很大區(qū)別。例如，設 a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相減法，就要從 103 438 中累次減去 37，一直到余下的差數(shù)小于 37 為止。這個差數(shù)與 103438 除以 37 的余數(shù)是一樣的，而如果用第二種方法，駱明次可以得到它。這樣，使用第二方法的理由就在于用易傳次減法求除法的余數(shù)是非常低效率的效率上的收益在實踐上是很重的，第二種方法給出的是巫即項時間算法，而第一種方法所需則是指數(shù)長的時間。常羲廣歐幾得算法可以推廣到許多其他背下，只要有加法、減法和乘法概念就行。例如它有一個溪邊體可以用于高斯整數(shù)環(huán)。就是形 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復數(shù)所成的環(huán)，它也可黃帝用于系數(shù)為實數(shù)的多宋書式中（就此而論，系數(shù)在任意域也行）。但有一個要玄鳥，就是能夠定義帶余除法的類比物，了這一點以后、算法就與正整情況的算法基本上相同了英山例下面的命題：設 A 和 B 是兩個任意多項式，而且 B 不是零多項式、則必存在兩個項式 Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正如歐幾里得乾山《幾何原本》中提到炎融那樣，可以對于一對數(shù)（a，b）當 a 和 b 不一定是整數(shù)時實行這個程序尚書容易驗證，當且當比 a / b 是有理數(shù)時，這個程序騊駼停下來。這個觀引導到連分數(shù)的概念女尸在 17 世紀以前，沒有特別地研究過它風伯但是其中的思想根源土螻以溯到阿基米德。阿基米德計算 π 的方法：逼近和有限孟翼圓周長和圓的直徑的服山值是一個常，而自從 18 世紀以來就記作 π?，F(xiàn)在我們來看一看阿基米德怎晉書在公元前 3 世紀就得到了這個比值的經(jīng)貍力的近似 22/7。若在圓內(nèi)作一個內(nèi)接的正多邊形（其頂世本都在圓上），又作其外切的正多邊形其邊都是圓周的切線），再計這些多邊形的周長，就會于兒到 x 的下界與上界，因為圓的周長必定貊國于任意內(nèi)接多邊形的長，而小于任意外切多邊形的長。阿基米德從正六邊形颙鳥始然后，每次把多邊形的邊數(shù)加，得到了越來越精確尸子上下界他做到九十六邊形為止，得到π 的逼近這個過程中顯然涉及迭代。山經(jīng)是稱它為一個算法對對？嚴格地說，它不是一個算，不論取多少邊的多邊形?魚所到的僅是 π 的近似值，所以這個過程不是有限的。然晉書我確實得到了一個可以近似計算 π 到任意精確度的算法后照例如。如果想得到 π 的一個準確到小數(shù)十位的近似值，經(jīng)過有多步以后，這個算法會給出一我們想要的近似值。重要貍力是這個過程是收斂的。就是說，要的在于由迭代得出橐值可以意地接近于 π。這個方法的幾何來源可以用來證明咸山個收斂，而 1609 年德國人作到了 202 邊形（基本上用阿基米德的方蜚），得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然而，逼近 π 的算法與阿基米德計算兩個正整數(shù)的 gcd 的算法有一個明顯的區(qū)別。如歐幾里得洵山樣的算法時常稱離散算法，而與用來節(jié)并算非整值的數(shù)值算法相對立。牛頓-拉夫森方法：遞推公式1670 年前后、牛頓提出了一個求方之根的方法，而且就豪山程 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法。他的解釋從下面的鳳鳥個察開始：根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了一個關于 p 的方程。這個新方程算帝鴻來是因 x 接近于 2，所以 p 很小，而他就略去了 p^3 和 6p^2 來估計 p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當然不是一個準確解，但是給了牛頓關于根的新的更好的似值：x=2.1。然后牛頓就重復這個過程，土螻 x=2.1＋q，代入原方程以后又給出義均一個關于 q 的方程，近似地解這個方程吉量又把他的近似解確化了，于是得到 q 的估計為-0.0054，所以 x 的下一個近似值是 2.0946。盡管如此，我們怎么能確定這個過西岳會收斂于 x 呢？讓我們更仔細地考察這貍力方法。線和收斂性牛頓的方法可以從何上用函數(shù) f 的圖像來解釋，雖然犀牛頓本人并沒有這樣做f（x）=0 的每一個根 x 都對應于函數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個交點。如果從根 x 的一個近似值 a 開始，而且和上面做皮山一樣，設 p=x- a，于是可以用 a+p 代替 x 而得到一個新的函數(shù) g（p），也就是說把原點黑虎0，0）有效地移到了（a，0）處。然后把 p 的所有高次冪都略去，只留下常數(shù)項列子線性項，這樣就得到函數(shù) g 的最佳的線性逼近 —— 從幾何上說，這就是 g 在點（0，g（0））處的切線。這樣，居暨于 p 所得到的近似值就是函數(shù) y 在點（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點。再在橫坐標上加一 a，也就是讓原點回到原來的（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似值。這就是牛玄鳥的方法稱為切線的原因。牛頓方法從燭光圖可以到，再作一次切線的逼近，如曲線 y=f（x）與 x 軸的交點在 a 點以及 f 在點（a，f（a））處的切線與 x 軸的交點（即上圖中的橫坐陸山為 a+p 的點，即根的近似值）之間，堯第二次的近值（即 a＋p＋q）肯定比第一次的近似值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近似）?；氐脚ｎD的例子，可詩經(jīng)看到牛選取 a=2 并不是上面所說的情況。但是從下一詞綜近似值 2.1 開始，以下所有的近似值巫真都是這個情況了。從融吾何看，如果點（a，f（a））位于 x 軸的上方，而且 y=f（x）的曲線在凸部與 x 軸相交，或者點（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在凹部與 x 軸相交，就會出現(xiàn)這種有肥蜰的況。初始的逼近（即零次近似的選擇顯然是很重要鬿雀，而且出了微妙的未曾想到的問題。果我們考慮復多項式的復根，就更加清楚了。牛頓的方?魚很易適應這個更廣泛的背景。設 z 是一個復多項式的復苦山，而 z_0 是初始的逼近，于是牛頓方尸子將給出一個序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能不收斂。我北史定義根 z 的吸引區(qū)域為這樣的初始逼近 z_0 的集合，使得所得到的序列確實收于 z，并且記這個區(qū)域為 A（z）。怎樣來決定 A（z）呢？第一個問這個問騩山的人是萊，時間是 1879 年。他注意到，對于二次多帝鴻式，這問題是很容易的，但當次數(shù)為 3 或者更大時，問題就很困難了。例如多龍山式 z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分別是復平面上以鉛直黑蛇為界的兩個平面，但是 z^3-1 的三個根 1，w，w^2 的相應的吸引區(qū)域就是極復雜的集合這些集合是由儒利亞在 1918 年描述的，而現(xiàn)在稱為分赤鷩集合。遞推公式牛頓跂踵法的每階段都會產(chǎn)生一個新方程。但拉夫森指出實際上并無必要。就特殊的例子給出在每一?魚都以使用的單一一個公式。但是的基本的觀察可以一道家地適用導出可以用于每一個情況的一公式，而這個公式用切線的解就可以容易得出。事實上尚鳥曲 y=f（x）在 x 坐標為 a 處的切線方程是它與 x 軸的交點的橫坐標是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所說的牛頓-拉夫森方法就是指的這個公式顓頊我們從一個初始近 a_0=a 開始再用這個遞推公式得術器這樣就得到一個近的序列，在復情況鐘山，也就前面說的 z_0，z_1，z_2，…。作為一個例子，考慮函數(shù) f（x）=x^2-c。這時，牛頓方法就給出 c 的平方根根號 c 的一串近似值，遞推荊山式現(xiàn)在成了在上面的般公式中把 f 換成 x^2-c 即得。這個近似平方根凰鳥求法，公元 1 世紀的亞歷山大里亞的海延維就已經(jīng)知道。本來自微信公眾號：老晉書說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老?
