簡介：這些由非簡單的方定義的曲籠罩在神和優(yōu)雅之。事實上描述它們方程非常單，即使高中生也理解。然，盡管世上一些最大的數(shù)學做出了不的努力，有大量關(guān)它們的簡問題尚未決。但這不是全部正如你很就會看到，這個理連接了數(shù)的各個重領(lǐng)域，因橢圓曲線僅僅是平曲線。一古老的問在數(shù)學中一些幾何題可以轉(zhuǎn)為代數(shù)問，反之亦。例如，一下幾千前的一個典問題，整數(shù) n 是否等于個邊長是理數(shù)的直三角形的積。在這情況下，n 被稱為同余數(shù)。例，6 是一個同余數(shù)因為它是長為 3，4 和 5 的直角三角形的面。1640 年，費馬證明了 1 不是全等數(shù)。自從馬的證明后，證明個數(shù)是（不是）同數(shù)的研究一直在進。令人驚的是，我可以用初方法證明于每一組理數(shù)數(shù)（a，b，c），如果有們可以找兩個有理 x 和 y，使得反過來，對每個有理對 (x, y) 使得 y^2= x^3- (n^2) x 且 y≠0，我們可找到三個理數(shù) a, b, c 使得 a^2+ b^2= c^2 和 1/2 ab = n。也就是，當 y≠0 時，面積為 n 的直角三形恰好對方程 y^2= x^3- (n^2) x 的有理解，反之亦。數(shù)學家說這兩個合之間存雙射。因，當且僅方程 y^2= x^3- (n^2) x 有一個有理解 (x, y) 且 y≠0 時，n＞0 是同余數(shù)。例如由于 1 不是同余，y^2= x^2- x 的唯一有理解 y = 0。具體對應(yīng)如下，果我們在長為 3，4，5，面積為 6 的三角形嘗試這種應(yīng)關(guān)系，么對應(yīng)的是 (x，y) =(12，36)。這非常不可思議。一個人數(shù)論和幾的問題開，通過代，把它轉(zhuǎn)成一個關(guān)平面曲線有理點的題！橢圓線一般來，如果 f (x) 表示具有零判別式三次多項（即所有根都是不的），那 y^2= f (x) 描述的是一條橢曲線，除“無窮遠”（即橢曲線上點加法運算構(gòu)成的群的單位元。現(xiàn)在，過一個小的代數(shù)技，我們可對坐標進適當?shù)模?理）改變并得到一形式為的曲線，使兩條曲線的有理數(shù)一一對應(yīng)從現(xiàn)在開，當我們“橢圓曲”時，指是 y^2= x^3+ ax + b 形式的曲線及無窮遠的一點??此外，我假定系數(shù) a 和 b 是有理數(shù)。橢圓曲有兩種典的形狀，下圖所示維基百科而，如果們把 x 和 y 看作復變量曲線看起就完全不了。它們起來像是甜圈。那我們?yōu)槭?要研究橢曲線，我可以用它做什么呢首先，許數(shù)論問題以轉(zhuǎn)化為番圖方程問題，其，橢圓曲與被稱為子（lattices）的離散何對象有，并與一非常重要被稱為模式的對象切相關(guān)，些對象是些極其對的復函數(shù)其中包含量的數(shù)論息。實際，橢圓曲和模形式間的聯(lián)系證明費馬定理的關(guān)，安德魯懷爾斯在 20 世紀 90 年代通過幾的努力實了建立了種聯(lián)系，而證明了馬大定理在密碼學，橢圓曲也被用于密信息和線交易。而，它們重要的特是一個令興奮的事，即它們僅僅是曲和幾何。實上，它有一個代結(jié)構(gòu)叫做貝爾群結(jié)，這是一幾何運算規(guī)則），來把曲線的點相加對于阿貝群，你可把它想象一組對象對它們進運算，使它們具有整數(shù)在加方面相同結(jié)構(gòu)（除它們可以有限的）阿貝爾群例子有：于加法運的整數(shù)?將正方形時針旋轉(zhuǎn) 90 度的操作。以量為元素向量加法運算的向空間。橢曲線的神之處在于我們可以橢圓曲線的有理數(shù)（也就是，x 和 y 坐標都是有理數(shù)之間定義個運算（它為“⊕），這樣線上這些的集合就成了一個于運算“”和單位素??（無遠處的點的阿貝爾。讓我們義這個運。如果你曲線上取個有理點例如 P 和 Q），并考慮一經(jīng)過它們直線，那這條直線曲線相交另一個有點（可能無窮遠處點）。我稱這個點-R?，F(xiàn)在，因為曲是關(guān)于 x 軸對稱的，我們得另一個有點 R。這個反射點上圖中的 R）是前面提到的兩點（P 和 Q）的相加。我們以寫成可證明，這運算是滿結(jié)合律，真的很令驚訝。此，無窮遠的點作為個運算的唯一）恒式，每個都有一個點。巨大謎團事實明，兩條同的橢圓線可以有然不同的。一個重的不變量在某種意上是最具義性的特，就是所的曲線（群）的秩一條曲線可以有有個有理點也可以有限個有理。我們感趣的是，要多少點能根據(jù)前提到的加規(guī)則生成有其他的。這些生器被稱為點。秩是種維數(shù)度，就像向空間的維一樣，表有多少獨的基點（曲線上）有無限階如果曲線只包含有數(shù)量的有點，那么為零。仍有一個群但它是有的。計算圓曲線的是出了名困難，但德爾告訴們橢圓曲的秩總是限的。也是說，我只需要有數(shù)量的基就可以生曲線上的有有理點數(shù)論中最要和最有的問題之被稱為波和斯溫納-戴雅猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture），它完全是關(guān)于圓曲線的。事實上它是如此困難和重，以至于成了千禧難題之一在具有有數(shù)系數(shù)的圓曲線上找有理點困難的。種方法是過對曲線 p 進行模數(shù)化簡，中 p 是質(zhì)數(shù)。這味著，我不考慮方 y^2= x^3+ ax + b 的有理解集，是考慮同的有理解，為了使有意義，們可能必通過在兩乘以整數(shù)消去分母所以我們慮的是兩數(shù)，當除 p 時余數(shù)相同，這個新空中相等。樣做的好是，現(xiàn)在有有限數(shù)的東西需檢查。讓們用 N_p 表示對 p 取模的簡化曲的有理解個數(shù)。在 20 世紀 60 年代早期，爾在劍橋學計算機驗室使用 EDSAC-2 計算機來計算已知秩的圓曲線上 p 模的點數(shù)。他數(shù)學家布恩?約翰伯奇一起究了橢圓線，并在算機處理一堆下面式的橢圓線之后對 x 的增長，他們與曲線 E 相關(guān)的數(shù)據(jù)中得到下輸出：y^2= x^3- 5x（作為一個例子）我應(yīng)該注到 x 軸是 log log x，y 軸是 log y。在這個圖上，歸線的斜似乎是 1。曲線 E 的秩是 1，當他們嘗試不同的曲線時每次都發(fā)了相同的式。擬合回歸線的率似乎總等于曲線秩。更準地說，他提出了大的猜想這 C 是某個常數(shù)。種計算機算加上極的遠見，他們對曲的哈塞-韋爾 L-函數(shù) L (E，s) 在 s = 1 時的行為做出一般性猜。這個 L 函數(shù)定義如下。讓曲線的判式記為 Δ。然后我可以定義 E 相關(guān)的 L 函數(shù)為以下歐拉積我把它看做變量 s 的函數(shù)。奇和斯溫頓-戴雅猜想現(xiàn)在是樣的：設(shè) E 為?上的任意橢曲線。曲 E 的有理點的阿爾群 E (?) 的秩等于 s = 1 時 L (E, s) 的零點的階。之所說它很有見是因為在當時，們甚至不道是否所這樣的 L 函數(shù)都存在所謂的析延拓。題是，上定義的 L (E, s) 僅當 Re (s)＞3/2。它們都可以用解延拓在 s = 1 處求值，在 2001 年首次被證明，過安德魯懷爾斯證的與模形的密切聯(lián)。有時這猜想是用 L 函數(shù)的泰勒展開表示的，它是用不的方式來達同樣的情。有理的領(lǐng)域可被更一般領(lǐng)域所取。橢圓曲的是一場論、抽象數(shù)和幾何間的美麗蹈。關(guān)于們，除了在這里描的，還有多可說的我希望你感受到或到一些令震驚的東。本文來微信公眾：老胡說學 （ID：LaohuSci），作者：才是老?
